Barisan Aritmatika dan Geometri

Ada yang tau gak barisan bilangan itu apa....??? mungkin bagi kalian yg udah kelas 9 keatas tau apa itu barisan bilangan. sedanggkan yg belum langsung aja liat apa itu barisan bilangan oke.. :)

Barisan Bilangan

Misalkan seorang anak diberi uang saku orang tuanya setiap minggu Rp10.000,00. Jika setiap minggu uang sakunya bertambah Rp500,00 maka dapat dituliskan uang saku dari minggu ke minggu berikutnya adalah Rp10.000,00, Rp10.500,00, Rp11.000,00, Rp11.500,00, ....

Susunan bilangan-bilangan yang sesuai dengan contoh di atas adalah :

Perhatikan bahwa dari bilangan-bilangan yang disusun berbentuk 10.000, 10.500, 11.000, 11.500, ... mempunyai keteraturan dari urutan pertama, kedua, ketiga, keempat, dan seterusnya, yaitu bilangan berikutnya diperoleh dari bilangan sebelumnya ditambah 500. Bilangan-bilangan yang disusun urut dengan aturan tertentu seperti itulah dikenal dengan nama barisan bilangan.

Secara matematis, barisan bilangan merupakan nilai fungsi dengan daerah definisinya adalah bilangan asli. Misalkan barisan bilangan ditulis lambang U untuk menyatakan urutan suku-sukunya maka bilangan pertama ditulis U(1) atau U₁, bilangan kedua ditulis U(2) atau U₂, dan seterusnya. Jika kita buat korespondensi, akan terlihat seperti berikut.

Jadi, bentuk umum barisan bilangan adalah U₁, U₂, U₃, ..., U_n, ...

Dalam hal ini, U_n = f(n) disebut rumus umum suku ke-n dari barisan bilangan.

Contoh Soal Barisan Bilangan 1 :

Diketahui barisan bilangan dengan suku ke-n berbentuk U_n = n² – 2n. Tuliskan 5 suku pertama dari barisan tersebut.

Pembahasan :

Rumus suku ke-n adalah U_n = n² – 2n.

Suku pertama dapat dicari dengan menyubstitusikan n = 1 dan diperoleh U₁ = 1² – 2(1) = –1. Suku kedua dicari dengan mensubstitusikan n = 2 dan diperoleh U₂ = 2² – 2(2) = 0.

Dengan cara yang sama, diperoleh sebagai berikut.

Suku ketiga = U₃ = 3² – 2(3) = 3.

Suku keempat = U₄ = 4² – 2(4) = 8.

Suku kelima = U₅ = 5² – 2(5) = 15.

Jadi, lima suku pertama dari barisan itu adalah –1, 0, 3, 8, 15.

Misalkan diberikan suatu barisan bilangan dengan suku ke-n dari barisan bilangan tersebut tidak diketahui. Dapatkah kita menentukan rumus suku ke-n? Hal ini tidak selalu dapat ditentukan, tetapi pada beberapa barisan kita dapat melakukannya dengan memperhatikan pola suku-suku barisan tersebut.

Contoh Soal 2 :

Diketahui barisan bilangan 4, 7, 12, 19, ....

a. Tentukan rumus suku ke-n.

b. Suku keberapa dari barisan tersebut yang bernilai 199?

Penyelesaian :

Barisan bilangan: 4, 7, 12, 19, ...

a. Suku ke-1 = U₁ = 4 = 1² + 3

Suku ke-2 = U₂ = 7 = 2² + 3

Suku ke-3 = U₃ = 12 = 3² + 3

Suku ke-4 = U₄ = 19 = 4² + 3

Suku ke-n = U_n = n² + 3

Jadi, rumus suku ke-n barisan tersebut adalah U_n = n² + 3.

b. Diketahui suku ke-n = 199, berarti

U_n = 199

↔ n² + 3 = 199

↔ n² = 196

Karena n² = 196 maka n₁ = 14 atau n₂ = –14 (dipilih nilai n positif).

Mengapa tidak dipilih n = –14?

Jadi, suku yang nilainya 199 adalah suku ke-14.

2. Deret Bilangan

Misalkan kita mempunyai barisan bilangan U₁, U₂, U₃, ..., U_n dan S_n adalah jumlah dari suku-suku barisan itu.

S_n = S_n = U₁ + U₂ + U₃ + ... + U_n disebut deret.

Jadi, deret adalah jumlahan suku-suku dari suatu barisan.

B. Barisan Aritmatika

1. Barisan Aritmatika

Indah menyisihkan sebagaian uang yang dimilikinya untuk disimpan. Pada bulan ke-1, ia menyimpan Rp 20.000,00. Bulan berikutnya ia selalu menaikkan simpanannya Rp 500,00 lebih besar dari bulan sebelumnya. Bear simpanan (dalam rupiah) Indah dari pertama dan seterusnya dapat ditulis sebagai berikut.

Bulan Ke-1	Bulan Ke-2	Bulan Ke-3	Bulan Ke-4	...
20.000	20.500	21.000	21.500	...

Jika kalian amati, selisih suku barisan ke suku berikutnya selalu tetap, yaitu 500.

Barisan aritmetika adalah suatu barisan bilangan yang selisih setiap dua suku berturutan selalu merupakan bilangan tetap (konstan).

Bilangan yang tetap tersebut disebut beda dan dilambangkan dengan b.

Perhatikan juga barisan-barisan bilangan berikut ini.

a. 1, 4, 7, 10, 13, ...

b. 2, 8, 14, 20, ...

c. 30, 25, 20, 15, ...

Barisan-barisan tersebut merupakan contoh dari barisan aritmatika.

Mari kita tinjau satu per satu.

a. Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah 3. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya 3 atau b = 3.

b. Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah 6. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya 6 atau b = 6.

c. Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah –5. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya –5 atau b = –5. Secara umum dapat dikatakan sebagai berikut. Jika U_n adalah suku ke-n dari suatu barisan aritmetika maka berlaku b = U_n – U_n-1.

Rumus umum suku ke-n barisan aritmetika dengan suku pertama (U1) dilambangkan dengan a dan beda dengan b dapat ditentukan seperti berikut.

U₁ = a

U₂ = U₁ + b = a + b

U₃ = U₂ + b = (a + b) + b = a + 2b

U₄ = U₃ + b = (a + 2b) + b = a + 3b

U₅ = U₄ + b = (a + 3b) + b = a + 4b

.

.

.

n = U_n–1 + b = a + (n – 1)b

Jadi, rumus suku ke-n dari barisan aritmatika adalah :

U_n = a + (n – 1)b

Keterangan: 

U_n = suku ke-n

a = suku pertama

b = beda

n = banyak suku

Contoh Soal Barisan Aritmatika 3 :

Tentukan suku ke-8 dan ke-20 dari barisan –3, 2, 7, 12, ....

Jawaban :

–3, 2, 7, 12, …

Suku pertama adalah a = –3 dan bedanya b = 2 – (–3) = 5.

Dengan menyubstitusikan a dan b, diperoleh U_n = –3 + (n – 1)5.

Suku ke-8 : U₈ = –3 + (8 – 1)5 = 32.

Suku ke-20 : U₂₀ = –3 + (20 – 1)5 = 92.

Contoh Soal 4 :

Diketahui barisan aritmetika –2, 1, 4, 7, ..., 40. Tentukan banyak suku barisan tersebut.

Penyelesaian :

Diketahui barisan aritmetika –2, 1, 4, 7, ..., 40.

Dari barisan tersebut, diperoleh a = –2, b = 1 – (–2) = 3, dan U_n = 40.

Rumus suku ke-n adalah U_n = a + (n – 1)b sehingga :

40 = –2 + (n – 1)3

↔ 40 = 3n – 5

↔ 3n = 45

Karena 3n = 45, diperoleh n = 15.

Jadi, banyaknya suku dari barisan di atas adalah 15.

Contoh Soal 5 :

Suku ke-10 dan suku ke-14 dari barisan aritmetika berturut-turut adalah 7 dan 15. Tentukan suku pertama, beda, dan suku ke-20 barisan tersebut.

Pembahasan :

Diketahui U₁₀ = 7 dan U₁₄ = 15. Dari rumus suku ke-n barisan aritmetika U_n = a + (n – 1)b, diperoleh 2 persamaan, yaitu :

U₁₀ = 7 sehingga diperoleh a + 9b = 7 ............................ (1)

U₁₄ = 15 sehingga diperoleh a + 13b = 15 ........................ (2)

Untuk menentukan nilai a dan b, kita gunakan metode campuran antara eliminasi dan substitusi. Dari persamaan (1) dan (2), diperoleh :

a + 9b	= 7
a + 13b	= 15	-
–4b	= –6
b	= 2

Dengan menyubstitusikan b = 2 ke persamaan (1), diperoleh :

a + 9(2) = 7 ↔ a = –11

Dengan demikian, diperoleh suku ke-n adalah U_n = –11 + (n – 1)2.

Jadi, suku ke-20 adalah U₂₀ = –11 + (20 – 1)2 = 27.

Pola Kuadrat dari Bilangan 9

Apakah hasil kuadrat bilangan yang disusun dari angka 9 memiliki pola tertentu? Betul sekali. Hasil kuadratnya hanya tersusun dari angka 9, 8, 1, dan 0. Jika bilangan terdiri atas n digit angka 9 (n bilangan bulat kurang dari 10) maka kuadrat bilangan tersebut adalah bilangan yang tersusun dari angka 9 sebanyak n – 1, diikuti angka 8, kemudian angka 0 sebanyak n – 1, dan diakhiri angka 1. Perhatikan pola berikut.

92 = 81

992 = 9801

9992 = 998001

99992 = 99980001

999992 = 9999800001

9999992 = 999998000001

Setelah memperhatikan pola di atas, coba kalian tentukan hasil dari :

a. 9999999²

b. 99999999²

c. 999999999²

Teorema yang Mengharukan

Apakah kamu tahu teorema yang dikemukakan Pierre de Fermat (1601–1665)? Teorema ini dikembangkan dari teorema Pythagoras yang sangat masyur itu. Menurut teorema Pythagoras, ada banyak pasangan bilangan a, b, dan c yang memenuhi c² = a² + b², seperti 5, 3, dan 4 (beserta kelipatannya); 13, 12, dan 5 (beserta kelipatannya); 25, 24, dan 7 (beserta kelipatannya); dan seterusnya.

Pierre de Fermat mengklaim, tidak ada bilangan bulat a, b, dan c yang memenuhi cⁿ = aⁿ + bⁿ, untuk n > 2. Namun, pembuktiannya saat itu masih dipertanyakan. Banyak ilmuwan yang penasaran dengan teorema yang dilontarkan Fermat. Paul Wolfskehl, profesor matematik asal Jerman, awal tahun 1900-an berusaha membuktikan teorema tersebut, namun gagal. Rasa frustasi menyelimutinya, ditambah kekecewaan pada kekasihnya membuat ia berniat bunuh diri. Ketika waktu untuk bunuh diri sudah dekat, ia masih penasaran dan mencoba lagi membuktikan Teorema Fermat membuat dia lupa untuk bunuh diri. Sampai akhir hayatnya, teorema ini belum juga terbuktikan. Wolfskehl berwasiat, ia menyediakan uang 100.000 mark bagi orang pertama yang mampu membuktikan teorema itu. Tahun 1995, Dr. Andrew Wiles, matematikawan dari Universitas Princeton, Inggris, berhasil membuktikan teorema Fermat dengan gemilang. Ia akhirnya mendapat hadiah 200.000 dolar dari Yayasan Raja Faisal di Arab Saudi pada tahun 1997. (Sumber: www.mate-mati-kaku.com)

C. Barisan Geometri

1. Barisan Geometri

Coba kalian amati barisan 1, 2, 4, 8, 16, 32, .... Terlihat, suku berikutnya diperoleh dengan mengalikan 2 pada suku sebelumnya. Barisan ini termasuk barisan geometri. Jadi, secara umum, barisan geometri adalah suatu barisan bilangan yang setiap sukunya diperoleh dari suku sebelumnya dikalikan dengan suatu bilangan tetap (konstan). Bilangan yang tetap tersebut dinamakan rasio (pembanding) dan dinotasikan dengan r.

Perhatikan contoh barisan-barisan berikut.

a. 3, 6, 12, 24, ...

b. 2, 1, ½, 1/4, ...

c. 2, –4, 8, –16, ...

Barisan di atas merupakan contoh barisan geometri. Untuk barisan di atas berturut-turut dapat dihitung rasionya sebagai berikut.

a.  = ..... = 2. Jadi, r = 2.

b.  = .... Jadi, r = ½

c.  = –2. Jadi, r = –2.

Dengan demikian, dapat disimpulkan jika U₁, U₂, ... U_n barisan geometri dengan U_n adalah rumus ke-n, berlaku :

Rumus umum suku ke-n barisan geometri dengan suku pertama (U1) dinyatakan a dan rasio r, dapat diturunkan sebagai berikut.

U1 =	a
U2 =	U1 × r = ar
U3 =	U2 × r = ar2
U4 =	U3 × r = ar3
.	.
.	.
.	.
Un =	Un–1 × r = arn–2 × r = arn–1

Dengan demikian, diperoleh barisan geometri a, ar, ar², ..., ar^n–1, ...

Jadi, rumus umum suku ke-n (U_n) barisan geometri adalah :

U_n = ar^n–1

Keterangan: 

a = suku pertama

r = rasio

n = banyak suku

Contoh Soal Barisan Geometri 11 :

Carilah suku pertama, rasio, dan suku ke-7 dari barisan geometri berikut.

a. 2, 6, 18, 54, ...
b. 9, –3, 1, -1/3 , ...

Jawaban :

a. 2, 6, 18, 54, ...

Dari barisan geometri di atas, diperoleh :

1) suku pertama: a = 2;

2) rasio: r = ... = ... = 3.

Karena rumus suku ke-n barisan geometri adalah :

U_n = ar^n–1 maka

U₇ = 2(3^7–1) = 2 × 729 = 1.458

b. 9, –3, 1,  , ....

Dari barisan ini, diperoleh :

1) suku pertama: a = 9;

2) rasio: r =  ;

3) suku ke-7: U₇ = 

Contoh Soal 12 :

Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jumlah ketiga bilangan itu 21 dan hasil kalinya 216. Tentukan ketiga bilangan itu.

Penyelesaian :

Pemisalan yang mudah untuk barisan geometri adalah  , a, dan ar.

Jumlah ketiga bilangan itu adalah 21 maka  + a + ar = 21.

Hasil kali ketiga bilangan adalah 216 maka  × a × ar = 216 ↔ a3 = 216

Karena a³ = 216, diperoleh a = 6. Kemudian, substitusikan nilai a = 6 ke persamaan  + a + ar = 21 sehingga diperoleh hasil sebagai berikut.

 + 6 + 6r = 21 ........... (kedua ruas dikalikan dengan r)

↔ 6 + 6r + 6r² = 21r

↔ 6 – 15r + 6r² = 0 ........................... (kedua ruas dibagi 3)

↔ 2r² – 5r + 2 = 0

↔ (2r – 1)(r – 2) = 0

↔ 2r – 1 = 0 atau r – 2 = 0

↔ r = ½ atau r = 2

Dari persamaan di atas, diperoleh r = ½ dan r = 2.

Untuk r = ½ dan a = 6, ketiga bilangan tersebut 12, 6, dan 3.

Untuk r = 2 dan a = 6, ketiga bilangan tersebut 3, 6, dan 12.

Pola Bilangan yang Indah

Perhatikan pola bilangan berikut.

1 × 8 + 1 = 9

12 × 8 + 2 = 98

123 × 8 + 3 = 987

1234 × 8 + 4 = 9876

12345 × 8 + 5 = 98765

123456 × 8 + 6 = 987654

Bandingkan dengan pola bilangan berikut.

0 × 9 + 1 = 1

1 × 9 + 2 = 11

12 × 9 + 3 = 111

123 × 9 + 4 = 1111

1234 × 9 + 5 = 11111

12345 × 9 + 6 = 111111

123456 × 9 + 7 = 1111111

Dari kedua pola bilangan di atas, dapatkah kalian menemukan bentuk umumnya?

Dengan memerhatikan bentuk umum kedua pola bilangan di atas, tentu kalian dapat dengan mudah menentukan hasil dari pertanyaan berikut.

a. 1234567 × 8 + 7 = ...

b. 12345678 × 8 + 8 = ...

c. 123456789 × 8 + 9 = ...

d. 1234567 × 9 + 8 = ...

e. 12345678 × 9 + 9 = ...

Coba kalian kerjakan.